自学方法指导》第三讲：例题的深度学习，以初中代数为例

第三讲，例题的自主学习，搞懂例题的审题，基本原理，因果关系，解题步骤，精研一题，学会解一下类题。

一、例题学习的根本性认知

1.1 例题是什么？

例题是概念与公式在具体情境中的应用示范，它是：

标准解题流程的展示

思维方法的具体化

知识连接的桥梁

应试策略的模板

1.2 大多数人的误区：被动阅读

“我看懂了” ≠ “我会做了”

“我会模仿” ≠ “我能创新”

深度学习的目标：通过精研一道例题，掌握一类问题的解法，形成可迁移的解题思维。

二、例题深度学习五步法：以“一元二次方程应用题”为例

例题原型

某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长25米），另外三边用木栏围成。木栏总长为40米。要使鸡场的面积达到150平方米，鸡场的长和宽应各设计为多少米？

第一步：深度审题——不仅仅是读题

1.1 三遍阅读法

第一遍：通读感知

了解问题背景：农场、养鸡场、围墙问题

识别问题类型：几何最值/面积问题 → 一元二次方程应用

第二遍：标注关键

某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长25米），另外三边用木栏围成。木栏总长为40米。要使鸡场的面积达到150平方米，鸡场的长和宽应各设计为多少米？

关键信息提取：

图形：长方形，一边靠墙

约束1：墙长≤25米（隐含条件！）

约束2：三边木栏总长=40米

目标：面积=150平方米

求解：长、宽具体数值

第三遍：条件转化

将文字转化为数学语言：

设宽为x米，长为y米

条件1（木栏）：2x + y = 40 （三边总长）

条件2（面积）：x·y = 150

条件3（墙长）：y ≤ 25 （易忽略的隐含条件！）

1.2 审题思维导图

原问题

├── 几何情境：长方形，一边靠墙

├── 已知数据

│ ├── 木栏总长：40米（用于三边）

│ └── 墙长限制：25米（最长边）

├── 目标数据

│ ├── 面积：150平方米

│ └── 求：长、宽具体值

└── 转化为

├── 方程1：2x+y=40

├── 方程2：xy=150

└── 不等式：y≤25

第二步：解析基本原理——为什么这样解？

2.1 问题归因分析

为什么这是一元二次方程问题？

1. 有两个未知数（长、宽）

2. 有两个等量关系（周长关系、面积关系）

3. 通过代入消元，可化为一元二次方程

与基本原理的连接：

长方形面积公式：S=长×宽（几何知识）

方程思想：用未知数表示数量，建立等式（代数思想）

实际问题→数学建模→求解→检验→回答

2.2 方法选择逻辑

为什么选择设宽为x，长为y？

策略分析：靠墙的一边是长，所以长用木栏较少

设未知数原则：设较简单的量为x（宽），用x表示长

从条件出发：由2x+y=40 → y=40-2x

第三步：剖析因果关系——解题步骤的内在逻辑

标准解法展示

设宽为x米，则长为(40-2x)米（由2x+y=40得y=40-2x）

为什么这样设？：减少未知数个数，便于列方程

2. 列方程

面积条件：x(40-2x)=150

为什么列这个方程？：这是问题的核心等式——面积等于150

3. 化简方程

展开：40x-2x²=150

整理：2x²-40x+150=0

化简：x²-20x+75=0（两边除以2）

为什么化简？：得到标准一元二次形式，便于求解

4. 求解方程

因式分解：(x-5)(x-15)=0

解得：x₁=5，x₂=15

为什么能分解？：75=5×15，且5+15=20

5. 求对应长

当x=5时，y=40-2×5=30

当x=15时，y=40-2×15=10

6. 检验与取舍

检验墙长限制：y≤25

方案1：长30米＞25米（超出墙长，舍去）

方案2：长10米≤25米（符合）

检验合理性：长10米，宽15米，面积150平方米，木栏40米

为什么检验？：实际问题需满足所有约束条件

7. 作答

鸡场设计为长15米，宽10米（注意：通常长＞宽，所以长15米宽10米）

因果关系链

设宽为x

↓（基于木栏条件）

长表示为40-2x

↓（基于面积条件）

建立方程x(40-2x)=150

↓（数学变形）

化简为x²-20x+75=0

↓（求解）

得到x=5或15

↓（求对应长）

得两组解：(5,30)和(15,10)

↓（实际检验）

舍去不符合墙长限制的(5,30)

↓

最终答案：宽10米，长15米

第四步：精研一题——从“这道题”到“这类题”

4.1 解法模式提取

“一边靠墙的矩形面积问题”解题模板：

1. 设未知数（通常设垂直墙的边为x）

2. 用总长度表示平行墙的边

3. 根据面积列方程

4. 解一元二次方程

5. 检验所有实际限制（墙长、非负等）

6. 确定最终答案

4.2 关键步骤深度分析

易错点与注意事项：

1. 隐含条件挖掘：

墙长限制（本例中最易忽略）

长、宽为正数

长通常大于宽（实际问题）

2. 设未知数的技巧：

设哪个量为x？→ 设被加减次数少的量

如何减少分数？→ 合理设未知数减少计算复杂度

3. 检验的必要性：

数学解 ≠ 实际解

必须代回原题所有条件验证

4.3 一题多解拓展

解法二：设长为x

设长为x米，则宽为(40-x)/2米

方程：x·(40-x)/2=150 → x(40-x)=300

解得：x²-40x+300=0 → (x-10)(x-30)=0

同样得x=10或30，结合墙长限制取x=10

比较两种设法：

设宽：计算相对简单，方程系数较小

设长：涉及分数，但直接得长值

启示：选择使表达式更简洁的设法

第五步：学会解一类题——举一反三训练

5.1 同型变式训练（直接迁移）

变式1：木栏总长50米，墙长30米，面积要求200平方米

方法：完全套用模板，仅数字变化

目的：巩固解题流程

变式2：改为两边靠墙（墙角），另两边用木栏

分析：此时木栏用于两边，设一边为x，另一边为(总长-2x)/?

目的：适应条件变化

5.2 渐进式变式（增加难度）

变式3：在矩形内加一条与墙平行的隔栏（分成两个小矩形），总木栏长、面积已知，求长宽

分析：木栏使用变化：2宽+2长（？）需要重新分析

目的：提升分析能力

变式4：求面积最大时的设计方案（最值问题）

分析：从已知面积→求面积最大，变为函数最值问题

连接：与二次函数顶点公式关联

5.3 跨类型连接（触类旁通）

连接几何：同样思路解决直角三角形问题

连接物理：运动学中的类似方程建立

连接生活：包装设计、场地规划等实际问题

三、例题学习的高阶思维工具

3.1 解题反思四问

每学完一道典型例题，自问：

1. 这道题的核心思想是什么？

本例：实际问题→数学建模→求解检验

2. 关键步骤是哪一步？为什么关键？

本例：列出方程x(40-2x)=150（建模转化）

检验y≤25（实际意义审查）

3. 我可能会在何处出错？

本例：忽略墙长限制；设未知数不当导致复杂计算

4. 这类问题的通用解法是什么？

提取模板，形成解决一类问题的思维框架

3.2 例题卡片制作法

每道精研例题做成一张卡片：

【题目类型】一边靠墙的矩形面积问题

【原题摘要】木栏40米，墙≤25米，面积150m²，求长宽

【核心步骤】

1. 设宽x，则长=40-2x

2. 列方程：x(40-2x)=150

3. 解方程：x=5或15

4. 求对应长：30或10

5. 检验：30>25舍去

6. 答：长15米，宽10米

【关键点提醒】

• 注意墙长隐含条件！

• 实际问题需检验合理性

【变式方向】

• 改变木栏长度

• 改变面积要求

• 改为求最大面积

【关联知识】

• 一元二次方程解法

• 实际问题建模

3.3 例题分类体系

建立个人例题库，按类型分类：

1. 方程应用类（如本例）

2. 几何证明类

3. 函数图像类

4. 实际建模类

5. 综合探究类

每类收集3-5道经典例题，透彻掌握。

四、从“学例题”到“创例题”的飞跃

4.1 逆向工程：从答案倒推题目

给定答案：长20米，宽10米，墙长限制25米

请设计原题：

木栏总长应为：2×10+20=40米

面积：20×10=200平方米

题目：木栏40米，墙≤25米，面积200m²，求长宽

4.2 条件改编训练

原题条件：木栏40米，墙≤25米，面积150m²

改编1：去掉面积条件，改为“面积最大”

改编2：增加成本条件：木栏每米10元，求最低成本

改编3：改变形状：半圆形靠墙，求半径

4.3 综合创造

融合多个知识点，创造新题：

创造题示例：

矩形场地一边靠墙，另三边用两种材料围成：正面用每米20元的材料，两侧用每米10元的材料。总预算800元，墙长20米。求面积最大时的设计方案。

（融合：一元二次方程、函数最值、不等式）

五、实践训练：完成你的第一次深度学习

本周训练任务

题目：初中数学例题——二次函数图像与性质

要求：

1. 选择一道典型例题（如求抛物线顶点、与x轴交点等）

2. 按照五步法深度学习：

深度审题：三遍阅读，标注转化

解析原理：为什么用这种方法

剖析因果：每一步的逻辑关系

精研一题：提取模式，分析易错点

举一反三：设计3个变式题

3. 制作例题卡片

4. 尝试创造一道新题

预期收获

掌握例题深度分析方法

形成一类问题的解题框架

体验从“被动看答案”到“主动掌握方法”的转变

建立一道例题的完整学习档案

结语：例题学习的真谛

“例题不是终点，而是起点；

不是要你记住这道题的答案，

而是要你掌握这类题的解法；

不是要你模仿老师的思路，

而是要你形成自己的思维。”

一道例题，深挖到底，通晓一类，创造新生——这是例题深度学习的核心价值。

当你能通过一道例题，看到它背后的知识结构、思维方法、变式可能，你就真正学会了“如何学习”。

学习方法闭环形成：

第一讲【概念】→ 第二讲【公式】→ 第三讲【例题】→

真正的学习能力：自主分析问题、建立模型、选择方法、解决问题、反思拓展的能力。

下期预告：第四讲《理科知识体系的自主构建》——如何将零散的概念、公式、例题整合成有机的知识网络，实现从“知识点”到“知识体”的跨越。

下一讲，一题多解刻意训练。