理科自学方法指导，第三讲，以高中初等函数之例题学习为例

上一讲，我们介绍了理科自学方法指导的第二讲，今天是第三讲。

知识学习，深研悟道，彻底掌握，方法类推，举一反三，触类旁通。

所有学科深度学习，都必须深度理解“三大基石”（概念，公式，例题），吃透概念，自主推导公式后，第三讲，以高中数学初等函数之例题的具体学习实际为例，深度理解例题的基本原理，因果关系，学会自学。

例题深度学习：从“看懂答案”到“掌握思维”

在掌握概念与公式后，例题学习是连接知识与应用的关键桥梁。真正的自学，是能通过一道典型例题，洞察一类问题的通用解法。以初等函数为例，其核心在于通过有限例题掌握无限变式。

一、例题学习的核心目标

例题学习不是记忆步骤，而是理解：

1. 基本原理：每一步的数学依据是什么？

2. 因果关系：为什么选择这种方法而非另一种？

3. 思维路径：从已知到未知的逻辑链条如何构建？

二、深度研习四步法

以复合函数 f(x) = \log_2(x^2 – 4x + 5) 为例，求其定义域、值域和单调区间：

1. 结构识别与条件翻译

识别结构：外层 \log_2 u（对数函数）+ 内层 u = x^2-4x+5（二次函数）

翻译条件：对数函数定义要求 真数 u > 0 → 即 x^2-4x+5 > 0

关键：将抽象定义转化为具体不等式

2. 决策点分析与选择依据

解 x^2-4x+5 > 0：选择配方 (x-2)^2+1 \geq 1 > 0 而非求根公式，因配方直接得最小值为1，更直观判断恒成立

值域推导：先求内层值域 u \in [1, +\infty)，再因外层 \log_2 u 递增 → f(x) \in [0, +\infty)

单调性：运用复合函数“同增异减”原则，分析内外层单调性后组合

3. 方法抽象与模式提取

从本题可提炼通用模式：

复合函数问题：先拆解（识别内外层），再分析（各自性质），后组合

定义域：由外层函数定义限制决定内层需满足的条件

值域：通过内层值域经外层映射得到

单调性：依据“同增异减”法则判断

4. 主动变式与迁移验证

自主构造变式以验证理解：

变外层：f(x) = \sqrt{x^2-4x+5}（定义域变为 u \geq 0，值域 [1,+\infty)）

变内层：f(x) = \log_2(|x|-2)（定义域 |x|>2，需分类讨论）

加参数：f(x) = \log_2(x^2-4x+k)，探究k对定义域的影响

三、自学效果检验标准

真正掌握一道例题的标志是：

1. 能脱离解答独立重现完整过程

2. 能清晰解释每个步骤的决策依据

3. 能自主构造有意义的变式题目

4. 能将方法迁移到类似结构的新问题

通过这种深度研习，一道典型例题便能成为掌握一类问题的钥匙。当你能主动进行结构识别→决策分析→方法抽象→变式迁移的完整思维训练时，便真正实现了“通过有限题目掌握无限可能”的自学目标。

记住：例题的价值不在其本身，而在其承载的思维模式。挖掘一道好题背后的通用原理，远比盲目刷题更有效。

下一讲，介绍理科自学方法指导第四讲，以高中初等函数之概念、公式学习的相互关键为例