自学指导第22讲，夯实基础后的变式训练。以初中数学典型例题为例

前面在第20和21讲里，我们重点介绍了“三大基石”——概念，公式（文科框架模型），例题（文科范例）如何自主学习的方法以及三者之间的紧密关联，有了这个坚实的基础，我们就要进一步学会变式训练，实现举一反三，触类旁通，融会贯通。

从今天开始，咱们就要具体介绍如何进行变式训练。以初中数学典型例题（或真题）为例。

好的，咱们就用一道初中数学的典型例题，把抽象的“变式训练”方法，落实到具体的题目上，看看如何真正做到举一反三。

一、锁定“母题”

先来看这道最经典的几何“母题”：

题目： 如图，△ABC中，∠ACB = 90°，CD是斜边AB上的高。

（1）请写出图中所有的相似三角形。

（2）求证：

AC^2 = AD \cdot AB

这道题考查的就是“直角三角形斜边上的高”这一经典模型，包含了三个相互相似的三角形。

二、深度复盘“母题”三基石

在变形之前，我们先按照“三大基石”来复盘一下：

概念： 三角形相似的条件，比如两角对应相等。

公式/模型： “母子型相似”，也叫射影定理的图形。关键结论是： AC^2 = AD \cdot AB ， BC^2 = BD \cdot AB ， CD^2 = AD \cdot BD 。

例题逻辑： 核心是找到等角。因为同角的余角相等，比如∠ACD = ∠B，就能证明△ACD ∽ △ABC，从而得到对应边成比例。

母题吃透后，我们就开始对它进行“手术”了。

三、实施“变式手术”

1. 变数字（浅层）

把数字换一下，直接应用公式。

变式1： 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，AD=4，BD=9，求AC的长。

这里，母题结论 AC^2 = AD \cdot AB = 4 \times 13 可以直接用，解得AC = 2\sqrt{13} 。

目的： 看你是否记住了核心公式，并能简单计算。

2. 变条件（中层）

改法A：给条件，求新值

变式2： 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，如果AC=6，AB=10，求AD的长。

这是把结论反过来用，由 AC^2 = AD \cdot AB 可得 36 = AD \times 10 ，解得AD = 3.6。

目的： 考验逆向思维，看你是否真理解公式的变形。

改法B：隐藏条件，增加图形

变式3： 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，E是BC中点，连接DE。求证：△BDE ∽ △BAC。

这题在母题基础上加了中点，需要两步思考：

1. 由“直角三角形斜边中线”得，E是中点则DE = BE。

2. 结合原图∠B是公共角，可以证明△BDE和△BAC相似。

目的： 训练在新情境中识别旧模型，并与新知识结合。

3. 变图形（深层）

把直角三角形放进圆里

变式4： 如图，AB是圆O的直径，C是圆上一点，CD⊥AB于点D。求证： CD^2 = AD \cdot DB 。

看起来完全像圆的问题，但由“直径所对圆周角90°”可知，∠ACB=90°，图形又变回了那个熟悉的“母子型”。

目的： 训练看透本质的能力。无论外表是圆还是直角，内在的相似关系不变。

四、总结“通法”与模型

做完这些变式，你会发现“不变”的是：

1. 核心图形： 一条高线把直角三角形分成了三个相似形。

2. 核心方法： 只要看到垂直和斜边上的高，立刻想到“母子相似”和它的结论。

3. 核心思想： 等角的转化（同角的余角相等、圆周角定理等）。

五、自主命题挑战

最后，你可以试着当一次出题人。比如在变式3的基础上，把E点从“中点”改成“使得DE=AE的一点”，再问问自己，结论还成立吗？

这样一套流程下来，你就不是在做一道题，而是在攻克一类题。通过这种训练，数学思维会越来越清晰。

欢迎关注分享！